Jedyną poprawną formą jest na bieżąco. Zapis na bierząco to częsty błąd, który wynika z niepewności co do pisowni litery ż w tej frazie.

Skąd w ogóle wzięło się to ż? Wyrażenie na bieżąco pochodzi od przymiotnika bieżący, który wywodzi się od czasownika biec (dawniej: bieżyć). W języku polskim obowiązuje zasada, że ż piszemy wtedy, gdy w pokrewnych formach lub wyrazach wymienia się ono na g, z, ź, dz, h lub s. Wystarczy odmieniać: bieżący – biec, biegnę – i od razu widać, że rdzeń wyrazu to bieg-, co uzasadnia pisownię przez ż.

Warto też zapamiętać, że na bieżąco zawsze piszemy rozdzielnie – jako dwa oddzielne wyrazy. Zapis nabieżąco jest tak samo błędny jak napewno czy naczas. Wyrażenia przyimkowe w języku polskim wymagają zapisu rozdzielnego.

Samo wyrażenie na bieżąco oznacza tyle co: regularnie, bez opóźnień, w miarę jak coś się dzieje. Używamy go, gdy chcemy podkreślić, że ktoś śledzi, wykonuje lub kontroluje coś na bieżąco – czyli od razu, bez zaległości.