Jedyną poprawną formą jest zasłużyć – z literą ż oraz u. Formy zasłurzyć i zasłóżyć to błędy ortograficzne, które nie istnieją w języku polskim.

Skąd wiemy, że piszemy ż, a nie rz? Tutaj z pomocą przychodzi prosta zasada wymiany liter: wystarczy poszukać pokrewnego słowa, w którym na miejscu ż pojawia się g. Takim słowem jest zasługuje – wymiana g na ż wyraźnie wskazuje, że w zasłużyć piszemy właśnie ż, a nie rz.

A co z literą u? Jej obecność ma korzenie historyczne – wywodzi się ona ze starych, prasłowiańskich form tego wyrazu. W języku polskim nie wymienia się ona z ó, dlatego zapis zasłóżyć jest absolutnie niepoprawny. Pamiętając o słowie sługa czy zasługa, łatwo utrwalimy sobie, że w tej rodzinie wyrazów zawsze piszemy u.

Podsumowując: zasłużyć = ż (bo wymienia się na g: zasługuje) + u (historyczne, wymawiane jako krótkie 'u’).